Las paradojas del infinito y el Hotel Hilbert.

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El concepto de infinito aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud. En matématicas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos, o límites al infinito; y en teoría de conjuntos como números transfinitos. Bueno lo infinito lo asociamos a la ausencia de limites en general, pero una serie de preguntas emergen automaticamente.¿Son todos los infinitos iguales o hay infinitos mayores que otros? ¿Puede el infinito ser más infinito de lo que ya es? El infinito matemático, sí. Se pueden crear universos infinitos más grandes a partir de universos infinitos más pequeños, si atentamos contra las leyes del sentido común pero seguimos estrictos criterios matemáticos.

Georg Cantor dedicó su vida a estudiar el infinito, creó la hipótesis del continuo y terminó sus días en un psiquiátrico. Como sus ideas pertenecen a la matemática avanzada y no deseo que ninguno de mis lectores termine en un cuerpo de guardia,si queremos entender la posibilidad de infinitos más grandes que otros, creo que sería buena idea pasar por el Hotel Hilbert, una construcción teórica que el matemático David Hilbert ensambló con las teorías y paradojas de Cantor.El Hotel Infinito de Hilbert es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert. Esta metáfora explica, de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor).

Todas las metáforas de Hilbert describen por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de las encontradas por Georg Cantor.

El hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.
“—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?
—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.
—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.
—Y qué tal si alguien construyera uno con…”1
Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Infinitos mayores que infinito.

El Hotel Hilbert tiene un número infinito de habitaciones. El único requisito para ser huésped de este hotel tan extraño es estar dispuesto a que te cambien de habitación varias veces a lo largo de la noche..

Si llega un huésped nuevo y todas las habitaciones están ocupadas, el recepcionista le pedirá a todos los huéspedes que se cambien a la habitación siguiente a la que ocupan. Esto es, de la habitación 1 a la 2, de la habitación 2 a la 3, de la habitación 1325 a la 1326, y así. Así la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. En términos matématicos, cada huésped se iría a la habitación n+1, siendo n el número de su cuarto..

Si llegan 15 ocupantes nuevos, el recepcionista hará que cada huésped se mueva a la habitación n+15, esto es, si su habitación es la número 1, que se vaya a la 16, si es la 333, que se vaya a la 348, si es la 4897624, que se vaya a la 4897636, y así tendrá las habitaciones de la 1 a la 15 libres para sus nuevos huéspedes.

Doble infinito

¿Qué pasa si llegan infinitos huéspedes nuevos al mismo tiempo? Al recepcionista se le ocurre trasladar a todos los huéspedes a la habitación cuyo número sea el doble de la suya propia, esto es, de la habitación 1 a la 2, de la 2 a la 4, de la 3 a la 6 (en términos matemáticos 2n). Así se asegura de que le quedan libres todas las habitaciones impares. De nuevo tiene infinitas habitaciones disponibles a pesar de que el hotel ya estaba lleno.

Infinitos infinitos

Un día llegan al hotel un número infinito de autobuses con un número infinito de turistas cada uno. El hotel al ser tan especial, como siempre, está lleno. El recepcionista piensa que lo mejor sería mover de nuevo a todos los huéspedes a las habitaciones pares, así tendrá un número infinito de habitaciones impares disponibles. Otra vez todos los ocupantes del hotel tendrán que cambiarse a los cuartos cuyo número sea el doble del suyo.Pero esto no basta para distribuir las habitaciones, porque tiene que colocar un número infinito de autobuses. Así que decide numerar los autobuses: 1, 2, 3, 4 hasta el infinito, como las habitaciones. También enumera en cada autobús a los infinitos pasajeros..

Luego les indica que el primer pasajero del autobús ocupe la primera habitación impar libre. Luego, que la segunda persona del autobús se quedará con la siguiente habitación libre. Y la primera del segundo autobús la siguiente..

Luego la tercera del autobús 1, la segunda del autobús 2 y la primera del autobús 3. Luego la cuarta del autobús 1, la tercera del autobús 2, la segunda del autobús 3, la primera del autobús 4 y así hasta los infinitos, porque son varios..

La complicada fórmula matemática sería: a cada número de autobús (x) le corresponden las habitaciones yn, siendo y es el número primo de orden x+1. Por ejemplo, al autobús 35 le corresponden las habitaciones 151n, ya que 151 es el 36º número primo.

Fuente: Ojo Científico / Diversas

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